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A história da teoria das probabilidades, teve início com os
jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de
exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade
permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento
aleatório.
Experimento Aleatório
É aquele experimento que quando repetido em iguais
condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados
explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na
loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório.
Espaço Amostral
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um
experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S.
Exemplo:
Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o
espaço amostral, constituído pelos 12 elementos:
S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6}
Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m
número par aparece}, B={um número primo aparece}, C={coroas e um número ímpar
aparecem}.
Idem, o evento em que:
a) A ou B ocorrem;
b) B e C ocorrem;
c) Somente B ocorre.
Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos
Resolução:
Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de
um K e um número par: A={K2, K4, K6};
Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de
números primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5}
Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R
e um número ímpar: C={R1,R3,R5}.
(a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5}
(b) B e C = B Ç C = {R3,R5}
(c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C;
B Ç Ac Ç Cc =
{K3,K5,R2}
A e C são mutuamente exclusivos, porque A Ç C
= Æ
Conceito de
probabilidade
Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente
prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é:
Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode
ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P =
3/6= 1/2 = 50%
Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável
quando seus eventos elementares têm probabilidades iguais de ocorrência.
Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade
de ocorrência de um evento A é sempre:
Propriedades
Importantes:
1. Se A e A’ são eventos complementares, então:
P( A ) + P( A' ) = 1
2. A probabilidade de um evento é sempre um número
entre Æ (probabilidade de evento impossível) e 1 (probabilidade do
evento certo).
Probabilidade
Condicional
Antes da realização de um experimento, é necessário que já
tenha alguma informação sobre o evento que se deseja observar. Nesse caso, o
espaço amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocorrência
alterada.
Fórmula de Probabilidade Condicional
P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) é
igual a P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1 e E2)...P(En/E1 e E2 e ...En-1).
Onde P(E2/E1) é a probabilidade de ocorrer E2, condicionada
pelo fato de já ter ocorrido E1
P(E3/E1 e E2) é a probabilidade ocorrer E3,
condicionada pelo fato de já terem ocorrido E1 e E2;
P(Pn/E1 e E2 e ...En-1) é a probabilidade de
ocorrer En, condicionada ao fato de já ter ocorrido E1 e E2...En-1.
Exemplo:
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se
ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a
probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?
Resolução:
Seja o espaço amostral S=30 bolas, e considerarmos os
seguintes eventos:
A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30
B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29
Assim:
P(A e B) = P(A).(B/A)
= 10/30.20/29 = 20/87
Eventos independentes
Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são eventos
independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de
os outros terem ou não terem ocorrido.
Fórmula da probabilidade
dos eventos independentes:
P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En)
Exemplo:
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se
sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na urna, qual será a
probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?
Resolução:
Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair
vermelha na primeira retirada e azul na segunda retirada é igual ao produto das
probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora, a
probabilidade de sair vermelha na primeira retirada é 10/30 e a de sair azul na
segunda retirada 20/30. Daí, usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9.
Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as
bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bola
vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já que ela
foi reposta na urna.
Probabilidade de
ocorrer a união de eventos
Fórmula da probabilidade de ocorrer a união de eventos:
P(E1 ou E2) =
P(E1) + P(E2) - P(E1 e E2)
De fato, se existirem elementos comuns a E1 e E2, estes
eventos estarão computados no cálculo de P(E1) e P(E2). Para que sejam
considerados uma vez só, subtraímos P(E1 e E2).
Fórmula de probabilidade de ocorrer a união de eventos
mutuamente exclusivos:
P(E1 ou E2 ou E3 ou
... ou En) = P(E1) + P(E2) + ... + P(En)
Exemplo: Se dois dados, azul e branco, forem
lançados, qual a probabilidade de sair 5 no azul e 3 no branco?
Considerando os eventos:
A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6
B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6
Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados,
temos:
n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos:P(A ou B) = 1/6 +
1/6 – 1/36 = 11/36
Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho
com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 8 ou um Rei?
Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis,
temos: n(S) = 52 cartas.
Considere os eventos:
A: sair 8 e P(A) = 4/52
B: sair um rei e P(B) = 4/52
Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13. Note que
P(A e B) = 0, pois uma carta não pode ser 8 e rei ao mesmo tempo. Quando isso
ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos.
Creditos : Só Matematica
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